Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)為C（﹣1，﹣1），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B和坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣3．

（1）求拋物線的解析式．

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及△BOC的面積．

（3）若點(diǎn)D為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)?jiān)谧筮叺膱D上標(biāo)出D和E的位置，再直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x+1）2﹣1 （2）（﹣3，3），3 （3）答案見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)解析式，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出拋物線的解析式.

（2）根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式求得點(diǎn)B坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，構(gòu)建一個(gè)直角梯形，進(jìn)而求出△BOC的面積．

（3）根據(jù)題意分三種情況考慮，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求出D的坐標(biāo)即可.

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）2﹣1，

將點(diǎn)O（0，0）代入，得：a﹣1＝0，

解得：a＝1，

則拋物線解析式為y＝（x+1）2﹣1；

（2）當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝3，

所以點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣3，3），

如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，

則BM＝OM＝3，CN＝ON＝1，

∴MN＝4，

則S△BOC＝S梯形BMNC﹣S△BOM﹣S△CON

＝×（1+3）×4﹣×3×3﹣×1×1

＝3；

（3）如圖2所示，

分三種情況考慮：

當(dāng)D1在第一象限時(shí)，若四邊形AOD1E1為平行四邊形，

∴AO＝E1D1＝2，

∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，

∴D1橫坐標(biāo)為1，

將x＝1代入拋物線y＝x2+2x＝1+2＝3，即D1（1，3）；

當(dāng)D2在第二象限時(shí)，同理D2（﹣3，3）；

當(dāng)D3在第三象限時(shí)，若四邊形AE2OD3為平行四邊形，此時(shí)D3與C重合，即D3（﹣1，﹣1）；

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）或（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．