Question

設二次函數y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B左邊），與y軸交于C點，線段AO與OB的長的積等于6（O是坐標原點），連接AC、BC，求sinC的值．

Answer 1

分析：設二次函數y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸的兩交點A、B的坐標為（x₁，0），（x₂，0），那么OA=|x₁|，OB=|x₂|，根據根與系數的關系可以得到x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），而線段AO與OB的長的積等于6，由此可以求出m，也就求出了拋物線的解析式，然后求出A、B、C三點坐標，最后利用三角函數的定義即可求出sinC的值．

解答：解：∵二次函數y=-x²+（m-2）x+3（m+1）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B左邊），
∴設A、B的坐標為（x₁，0），（x₂，0），
∴OA=|x₁|，OB=|x₂|，
∴x₁+x₂=-（m-2），x₁x₂=-3（m+1），
而線段AO與OB的長的積等于6，
∴3（m+1）=±6，
∴m=1或-3，
當m=1時，拋物線解析式為y=-x²-x+6，
∴A、B的坐標為（-3，0），（2，0），C（0，6）
∴AC=3

5

，BC=2

10

，AB=5，
如圖拋物線過A作AD⊥BC于D，
則S_△ABC=

1

2

CO•BA=

1

2

AD•BC，
∴AD=

CO×BA

BC

=

3

4

10

，
∴sinC=

AD

AC

=

2

4

；
當m=-3時，拋物線解析式為y=-x²-5x-6，
∴A、B的坐標為（-3，0），（-2，0），C（0，-6）
∴AC=3

5

，BC=2

10

，AB=1，
如圖拋物線過A作AD⊥BC于D，
則S_△ABC=

1

2

CO•BA=

1

2

AD•BC，
∴AD=

CO×BA

BC

=

3

10

10

，
∴sinC=

AD

AC

=

2

10

；
所以sinC的值為

2

4

或

2

10

．

點評：此題主要考查了拋物線與x軸的交點，也考查了三角函數的定義、根與系數的關系和待定系數法確定函數的解析式，綜合性比較強，對學生的能力要求比較高，平時應該加強訓練．