Question

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜邊AB所在直線為x軸,以斜邊AB上的高所在直線為y軸,建立直角坐標系,若OA²+OB²=17,且線段O（　�。�

A．OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2(m-3)=0的兩個根.

(1)求C點的坐標;

(2)以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點E,求過（　�。�

A． B．E三點的拋物線的解析式,并畫出此拋物線的草圖;

(3)在拋物線上是否存在點P,使△ABP與△ABC全等?若存在,求出符合條件的P點的坐標;若不存在,說明理由.

Answer 1

解:(1)∵線段OA．OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+2(m-3)=0的兩個根,

∴

又 ∵OA²+OB²=17,

∴(OA+OB)²-2?OA?OB=17.(3)

∴把(1)(2)代入(3),得m²-4(m-3)=17.

∴m²-4m-5=0., 解得m=-1或m=5.

又知OA+OB=m>0,∴m=-1應(yīng)舍去.

∴當m=5時,得方程x²-5x+4=0.

解之,得x=1或x=4.

∵BC>AC, ∴OB>OA．

∴OA=1,OB=4.

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,

∴OC²=OA?OB=1×4=4.

∴OC=2, ∴ C(0,2).

(2)∵OA=1,OB=4, C．E兩點關(guān)于x軸對稱,

∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).

設(shè)經(jīng)過A． B．E三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c,則

∴所求拋物線解析式為

(3)存在.∵點E是拋物線與圓的交點,

∴Rt△ACB≌△AE B．

∴E(0,-2)符合條件.

∵圓心的坐標(,0)在拋物線的對稱軸上,

∴這個圓和這條拋物線均關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

∴點E關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點E′也符合題意.

∴可求得E′(3,-2).

∴拋物線上存在點P符合題意,它們的坐標是(0,-2)和(3,-2)?