Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，AB⊥CD，⊙O的切線BF與弦AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：CD∥BF；
（2）若⊙O的半徑為5，cos∠BCD=0.8，求線段AD與BF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）由BF是圓O的切線，AB是圓O的直徑，可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可證得CD∥BF；
（2）由圓周角定理可證得∠BAD=∠BCD，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案．

解答：（1）證明：∵BF是圓O的切線，AB是圓O的直徑，
∴BF⊥AB．
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF；

（2）解：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴cos∠BAD=cos∠BCD=0.8，
在Rt△ABD中，AB=10，cos∠BAD=

AD

AB

，
∴AD=AB•cos∠BAD=10×0.8=8，
在Rt△ABF中，AB=10，cos∠BAF=

AB

AF

，
∴AF=

AB

cos∠BAF

=

10

0.8

=12.5，
FB=

AF2-AB2

=

12.52-102

=7.5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．