Question

設實數x滿足：，求2|x-1|+|x+4|的最小值

Answer 1

解：原不等式兩邊同乘以30，得：15（3x-1）-10（4x-2）≥6（6x-3）-39，
化簡得：-31x≥-62，
解得：x≤2，（5分）
設y=2|x-1|+|x+4|，
（1）當x≤-4時，y=-2（x-1）-（x+4）=-3x-2
所以，y的最小值都為（-3）×（-4）-2=10，此時x=-4；（10分）
（2）當-4≤x≤1時，y=-2（x-1）-（x+4）=-3x-2
所以，y的最小值為5，此時x=1；（15分）
（3）當1≤x≤2時，y=2（x-1）+（x+4）=3x+2
所以，y的最小值為5，此時x=1．（20分）
綜上所述，2|x-1|+|x+4|的最小值為5，在x=1時取得．（25分）
分析：首先解出不等式的解集，再根據所求代數式的絕對值確定x的取值范圍，根據x的取值范圍確定代數式的最小值即可．
點評：本題考查了解絕對值代數式最值及不等式的解法．解帶絕對值代數式的最值是本題的一個難點．