Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（4，3），動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)．解答下列問題：
（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

4-t

，

3

4

t

 ）．（用含t的式子表示）；
（2）若△MPA的面積為S，當(dāng)S=

3

2

時(shí)，求t的值；
（3）若點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)S=

3

2

且△QAN為等腰三角形時(shí)，求直線AQ的解析式．

Answer 1

分析：（1）由BN=t，根據(jù)BC-BN表示出CN，即為N的橫坐標(biāo)，由三角形CNP與三角形CBA相似，根據(jù)相似得比例列出關(guān)系式，表示出NP，由AB-NP求出P的縱坐標(biāo)，即可確定出P的坐標(biāo)；
（2）三角形APM以AM為底，根據(jù)OA-OM表示出AM，高為P的縱坐標(biāo)，利用三角形的面積公式列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到此時(shí)t的值；
（3）根據(jù)（2）得出此時(shí)N為BC的中點(diǎn)，設(shè)Q（0，y），根據(jù)勾股定理分別表示出AQ²，QN²，AN²，由三角形QAN為等腰三角形，分三種情況考慮：①若AQ=AN；②若AQ=QN；③若QN=AN，分別求出對(duì)應(yīng)y的值，確定出Q的坐標(biāo)，根據(jù)Q的坐標(biāo)設(shè)出直線AQ方程，將A坐標(biāo)代入即可確定出直線AQ的解析式．

解答：解：（1）延長(zhǎng)NP，交OA于點(diǎn)E，可得出PE⊥OA，
∵BN=t，BC=4，
∴CN=BC-BN=4-t，
∵∠CNP=∠CBA=90°，∠NCP=∠BCA，
∴△CNP∽△CBA，
∴

CN

CB

=

NP

AB

，即

4-t

4

=

NP

3

，
∴NP=

3

4

（4-t）=3-

3

4

t，
∴PE=NE-NP=3-（3-

3

4

t）=

3

4

t，
則P的坐標(biāo)為（4-t，

3

4

t）；

（2）在△MPA中，MA=4-t，MA上的高PE=

3

4

t，
∴S=S_△MPA=

1

2

（4-t）•

3

4

t，又S=

3

2

，
∴

1

2

（4-t）•

3

4

t=

3

2

，
解得：t₁=t₂=2，
則當(dāng)t=2時(shí)，S=

3

2

；

（3）由（2）可知：S=

3

2

時(shí)，t=2，此時(shí)點(diǎn)N在BC的中點(diǎn)處，
設(shè)Q（0，y），則AQ²=OA²+OQ²=4²+y²，QN²=CN²+CQ²=2²+（3-y）²，AN²=AB²+BN²=3²+2²，
由△QAN為等腰三角形，分三種情況考慮：
①若AQ=AN，即4²+y²=3²+2²，此時(shí)方程無解；
②若AQ=QN，即4²+y²=2²+（3-y）²，解得：y=-

1

2

；
③若QN=AN，即2²+（3-y）²=3²+2²，解得：y₁=0，y₂=6，
∴Q₁（0，-

1

2

），Q₂（0，0），Q₃（0，6），
當(dāng)Q為（0，-

1

2

）時(shí)，設(shè)直線AQ的解析式為y=kx-

1

2

，
將A（4，0）代入得k=

1

8

，此時(shí)直線AQ的解析式為y=

1

8

x-

1

2

；
當(dāng)Q為（0，0）時(shí)，A、Q兩點(diǎn)均在x軸上，此時(shí)直線AQ的解析式為y=0；
當(dāng)Q為（0，6）時(shí)，Q、N、A在同一直線上，△QAN不存在，故舍去，
綜上，直線AQ的解析式為y=

1

8

x-

1

2

或y=0．
故答案為：4-t；

3

4

t．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，利用了分類討論的思想，分類討論時(shí)不重不漏，考慮問題要全面．