Question

【題目】如圖1，點(diǎn)，分別是邊長(zhǎng)為的等邊邊，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)，點(diǎn)從頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為

(1)連接，交于點(diǎn)，則在，運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

(2)何時(shí)是直角三角形？

(3)如圖2，若點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線，上運(yùn)動(dòng)，直線，交點(diǎn)為.則變化嗎？若變化。則說(shuō)明理由， 若不變，則求出它的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）不變，；（2）當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形；（3）不變，120°.

【解析】

（1）因?yàn)辄c(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，所以AP＝BQ．AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，因而運(yùn)用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質(zhì)定理及三角形的角間關(guān)系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數(shù)．

（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝4t．分別就①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)；②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)利用直角三角形的性質(zhì)定理求得t的值．

（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質(zhì)定理得到∠BPC＝∠MQC．再運(yùn)用三角形角間的關(guān)系求得∠CMQ的度數(shù)．

解：（1）∠CMQ＝60°不變．

∵等邊三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°

又由條件得AP＝BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ＝∠ACP，

∴∠CMQ＝∠ACP＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°．

（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，PB＝4t

①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴PB＝2BQ，得4t＝2t，t＝；

②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴BQ＝2BP，得t＝2（4t），t＝；

∴當(dāng)?shù)?/span>秒或第秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．

（3）∠CMQ＝120°不變．

∵在等邊三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°

∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，

又由條件得BP＝CQ，

∴△PBC≌△QCA（SAS）

∴∠BPC＝∠MQC

又∵∠PCB＝∠MCQ，

∴∠CMQ＝∠PBC＝180°60°＝120°