Question

（2007•常州）已知A（-1，m）與B（2，m+3）是反比例函數(shù)圖象上的兩個點．
（1）求k的值；
（2）若點C（-1，0），則在反比例函數(shù)圖象上是否存在點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A（-1，m）與B（2，m+3）是反比例函數(shù)圖象上的兩個點，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知：坐標之積相等，可列方程求k的值；
（2）判斷是不是梯形，就要判定一組對邊平行且不相等．求出坐標，既能求線段長度，又能判別平行，即解．
解答：解：（1）將A（-1，m）與B（2，m+3）代入反比例函數(shù)中，
得：m=-k，m+3=，
∴（-1）•m=2•（m+3），解得：m=-2，
則k=2；

（2）如圖1，作BE⊥x軸，E為垂足，
則CE=3，BE=，BC=2，
∵Rt△CBE中，BE=BC，
∴∠BCE=30°，
又點C與點A的橫坐標相同，
∴CA⊥x軸，
∴∠ACB=120°，
當AC為底時，由于過點B且平行于AC的直線與雙曲線只有一個公共點B，故不符題意；
當BC為底時，過點A作BC的平行線，交雙曲線于點D，
過點A，D分別作x軸，y軸的平行線，交于點F，
由于∠DAF=30°，設DF=m₁（m₁＞0），則AF=m₁，AD=2m₁，
由點A（-1，-2），得點D（-1+m₁，-2+m₁），
因此（-1+m₁）•（-2+m₁）=2，
解之得（m₁=0舍去），
因此點，
此時，與BC的長度不等，故四邊形ADBC是梯形，
如圖2，當AB為底時，過點C作AB的平行線，與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為D，
由于AC=BC，因此∠CAB=30°，從而∠ACD=150°，作DH⊥x軸，H為垂足，
則∠DCH=60°，設CH=m₂（m₂＞0），則，CD=2m₂，
由點C（-1，0），得點，
因此，
解之得m₂=2（m₂=-1舍去），因此點D（1，2，
此時CD=4，與AB的長度不相等，故四邊形ABDC是梯形，
如圖3，當過點C作AB的平行線，與雙曲線在第三象限內(nèi)的交點為D時，
同理可得，點D（-2，-），四邊形ABCD是梯形，
綜上所述，函數(shù)圖象上存在點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為梯形，
點D的坐標為：或D（1，2或D（-2，-）．
點評：此題難度中等，考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)與四邊形性質(zhì)的結合，綜合性較強，同學們要熟練掌握．