Question

如圖，在以O為原點的直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B在第一象限，四邊形OABC是矩形，OA=8，OC=6．反比例函數y₁=

k

x

（x＞0）與AB相交于點D，與BC相交于點E，BE=3CE．
（1）求k的值和點D的坐標；
（2）設直線DE的解析式為y₂=mx+n，求m和n的值，并根據圖象寫出不等式

k

x

＜mx+n的解集；
（3）連接OE、OD，在線段OA上是否存在點P，使得△EDP∽△PDA？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）先根據題意得到點E的坐標為（2，6），根據待定系數法可得k的值，再根據點D的橫坐標為8，且也在反比例函數上，代入反比例函數得到D坐標；
（2）根據待定系數法得到方程組，得到m和n的值，再根據圖象寫出不等式

k

x

＜mx+n的解集；
（3）設所求點P坐標為（a，0），其中0＜a＜8，可得PA=8-a，ED=

(8-2)2+(6- 3 2 )2

=

15

2

，PD=

(8-a)2+( 3 2 )2

，DA=

3

2

，再根據相似三角形對應線段成比例得到關于a的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）已知BC=OA=8，BE=3CE，
那么BE=6，CE=2，
所以點E的坐標為（2，6），
點E在反比例函數上，代入得到k=12，
函數方程為y₁=

12

x

，
點D的橫坐標為8，且也在反比例函數上，代入反比例函數得到D坐標為（8，

3

2

）；

（2）將已求得的兩點D，E的坐標值代入所求直線方程得到

2m+n=6 8m+n= 3 2

解得

m=- 3 4 n= 15 2

．
故所求不等式為

12

x

＜-

3

4

x+

15

2

，不等式解集為2＜x＜8；

（3）設所求點P坐標為（a，0），其中0＜a＜8，
∵△EDP∽△PDA，PA=8-a，ED=

(8-2)2+(6- 3 2 )2

=

15

2

，PD=

(8-a)2+( 3 2 )2

，DA=

3

2

，
∴ED：PD=DP：DA，
∴

15

2

：

(8-a)2+( 3 2 )2

=

(8-a)2+( 3 2 )2

：

3

2

解得a=5或11（不合題意）．
故滿足條件的點P坐標為（5，0）．

點評：考查了反比例函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求反比例函數，一次函數，根據圖象求不等式的解集，相似三角形的性質，兩點間的距離公式，方程思想的運用．