Question

6．已知拋物線y=x²-2x-3．將該拋物線在x軸下方的部分（不包含與x軸的交點）記為G．若直線y=x+b與G只有一個公共點，則b的取值范圍是-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 先確定該拋物線在x軸下方的部分G，再確定b的范圍．當拋物線和直線相切時，也符合題意．所以需分類討論．

解答 ①當拋物線y=x²-2x-3與x軸相交時，其交點坐標為（-1，0），（3，0）．
當直線y=x+b經(jīng)過點（-1，0）時-1+b=0，可得b=1，
∵在x軸下方的部分，
∴b＜0，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當直線y=x+b經(jīng)過點B（3，0）時，3+b=0，則b=-3；
則符合題意的b的取值范圍為-3≤b＜1．
②根據(jù)題意，若直線y=kx+b與拋物線相切時，直線與拋物線有一個交點．此時$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=x+b}\end{array}\right.$
只有一個解．即x²-3x-3-b=0，
則△=9+4（3+b）=0，
解得，b=-$\frac{21}{4}$．
綜合①②知，b的取值范圍是-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．
故答案是：-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)及拋物線和直線相切的情況．把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程，是解決本題的關(guān)鍵．