Question

6．已知拋物線y=x²-2x-3．將該拋物線在x軸下方的部分（不包含與x軸的交點(diǎn)）記為G．若直線y=x+b與G只有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 先確定該拋物線在x軸下方的部分G，再確定b的范圍．當(dāng)拋物線和直線相切時(shí)，也符合題意．所以需分類討論．

解答 ①當(dāng)拋物線y=x²-2x-3與x軸相交時(shí)，其交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（3，0）．
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）時(shí)-1+b=0，可得b=1，
∵在x軸下方的部分，
∴b＜0，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）時(shí)，3+b=0，則b=-3；
則符合題意的b的取值范圍為-3≤b＜1．
②根據(jù)題意，若直線y=kx+b與拋物線相切時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=x+b}\end{array}\right.$
只有一個(gè)解．即x²-3x-3-b=0，
則△=9+4（3+b）=0，
解得，b=-$\frac{21}{4}$．
綜合①②知，b的取值范圍是-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．
故答案是：-3≤b＜1或b=-$\frac{21}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)及拋物線和直線相切的情況．把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程，是解決本題的關(guān)鍵．