Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE，求△BCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出一共有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P（簡要說明理由）并寫出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在這樣的點(diǎn)P，請(qǐng)簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A與B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得a與b的值，則可得此拋物線的解析式；
（2）根據(jù)已知可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后作輔助線：EF∥AB，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），由S_△BEC=S_梯形OBEF+S_△EFC-S_△BOC即可求得關(guān)于x的二次函數(shù)，配方即可求得x的值，代入解析式，求得y的值；
（3）分別從AP=BP與AB=BP與AB=AP去分析，可得到存在符合條件的點(diǎn)有5個(gè)，其中最好求得是P在頂點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)，配方求解即可．

解答：解：（1）將點(diǎn)A與B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

，
解得：

a=-1 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）∵拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），過點(diǎn)E作EF∥AB交y軸于F，
∴EF=-x，OB=3，OC=3，OF=-x²-2x+3，CF=3-（-x²-2x+3）=x²+2x，∴S_△BEC=S_梯形OBEF+S_△EFC-S_△BOC
=

1

2

（EF+OB）•OF+

1

2

EF•CF-

1

2

OB•OC
=

1

2

×（-x+3）×（-x²-2x+3）+

1

2

×（-x）×（x²+2x）-

1

2

×3×3
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，△BCE的面積最大，最大面積為

27

8

；
∴y=-x²-2x+3=

15

4

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

3

2

，

15

4

）；

（3）存在．
如果AP=BP，則點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，即是拋物線的頂點(diǎn)，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）；
如果AB=BP，則如圖①：
如果AB=AP，則如圖②：
∴存在使得△ABP為等腰三角形的P點(diǎn)3個(gè)；
有一點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積最大值問題以及求拋物線上的點(diǎn)的問題．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．