Question

已知：如圖，AC是⊙O的直徑，AB和⊙O相交于E，BC和⊙O相切于C，D在BC上，DE是⊙O的切線，E是切點，
求證：（1）OD∥AB；
（2）2DE²=BE•OD；
（3）設BE=2，∠ODE=a，則cos²a=

1

OD

．

Answer 1

分析：（1）連接CE，可證OD⊥CE，由AC是直徑，可證AE⊥CE，則OD∥AB；
（2）先證明Rt△BCE∽Rt△DOE，得出BC：OD=BE：DE，根據(jù)DE是Rt△BCE斜邊上的中線，故BC=2DE，則而DE是Rt△BCE斜邊上的中線，故BC=2DE；
（3）可知DB=DE，得到∠DEB=∠DBE=α，則cosa=

1

DE

，由（2）得DE²=OD，即cos²a=

1

OD

．

解答：（1）證明：連接CE，∵DC和DE都與⊙O相切，
∴DC=DE，∠CDO=∠EDO，
∴OD⊥CE．（1分）
又AC是直徑，故∠CEA=90°，
即AE⊥CE，
∴OD∥AB；（2分）

（2）證明：
證法一：DE、DC是⊙O的切線，OD∥AB，故∠ODE=∠ODC=∠B．（3分）
∴Rt△BCE∽Rt△DOE，
∴BC：OD=BE：DE，
即BC•DE=OD•BE．（5分）
而DE是Rt△BCE斜邊上的中線，故BC=2DE，
∴2DE²=BE•OD．（6分）

證法二：BC²=BE•BA，OD是△ABC的中位線，（3分）
∴BA=2OD，又BC=2DE，
∴4DE²=BE•2OD，
∴2DE²=BE•OD．（6分）

（3）解：
解法一：由②和已知條件得DE²=OD，即OD²-OE²=OD．（7分）
兩邊同除以OD²得1-（

OE

OD

）²-

1

OD

，
得1-sin²a=

1

OD

，
∴cos²a=

1

OD

（8分）

解法二：注意到D是BC的中點，可知DB=DE，
∴∠DEB=∠DBE=α，于是cosa=

1

DE

（過D作DG⊥EB可知）．（7分）
由（2）及已知可得DE²=OD，
∴cos²a=

1

OD

．（8分）

點評：本題考查的是三角形的中位線定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理．