Question

如圖，在坐標平面中，直線y=2x+12分別交x軸、y軸于A、B，把△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)，使點B落在x軸正半軸點C處，A落在y軸上點D處，直線CD于AB相交于點E．
（1）求直線CD的解析式；
（2）點P為線段CD上一點，過點P坐x軸的平行線交直線BC于F，設P點的橫坐標為m，△PDF的面積為S平方單位，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，若△PCF與△BCP相似，求P點坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求直線解析式，常規(guī)做法就是確定直線上兩點的坐標，然后代入y=kx+b，利用待定系數(shù)法確定解析式．而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特性，C、D坐標不難求得．
（2）求S與m的函數(shù)關(guān)系式，由于S的值和三角形的底高有關(guān)系，那么先選著合適的高和底，用m分別將其底高表示出來是解決問題的關(guān)鍵．表示后在合并表示S．
（3）兩個三角形相似可以得到對應角相等及對應邊成比例．題目中設點P的橫坐標為m，表示為線長，且此題與角的內(nèi)容相關(guān)較少，則可考慮對應邊成比例，有PC2=BC•CF．然后根據(jù)前兩問求出相關(guān)邊長（用m表示），利用勾股定理表示出PC，BC，CF，則可得關(guān)于m的方程，求出即可，注意結(jié)果要符合題意，去掉不合實際項．

解答：解：（1）由直線y=2x+12分別交x軸、y軸于A、B兩點，
則A、B兩點坐標分別為：A（-6，0），B（0，12）
則OA=6，OB=12
∵△AOB≌△DOC
∴OD=OA=6，OC=OB=12
則C、D兩點坐標分別為：C（12，0），D（0，6）
設直線CD的解析式為y=kx+b，分別代入C、D兩點，整理得直線CD的解析式為y=-

1

2

x+6．
（2）
如圖，過點P作PF∥AC交BC于F，連接DF，反向延長FP交BO于G
∵由P在直線CD上
∴點P的坐標為（m，-

1

2

m+6）
∵∠GOC=90°
∴∠DGP=90°
∴GP=m，GO=-

1

2

m+6
∴F點的縱坐標為-

1

2

m+6
設直線BC的解析式為y=kx+b，代入B（0，12），C（12，0）
整理得直線BC的解析式為y=-x+12
又∵F在BC上，
∴F點的坐標為（6+

1

2

m，6-

1

2

m）
∴GF=6+

1

2

m
∴DG=DO-GO=6-(-

1

2

m+6)=

1

2

m
PF=GF-GP=(6+

1

2

m)-m=6-

1

2

m
∴S=

1

2

DG•PF
=

1

2

•

1

2

m•(6-

1

2

m)
=-

1

8

m2+

3

2

m
（3）如圖，

連接BP，過P作PH⊥OC于H，過F作FI⊥OC于I
∵△PCF∽△BCP
∴

PC

CF

=

BC

CP

∴PC²=BC•CF
在Rt△PHC中，
∵PH=GO=6-

1

2

m，CH=OC-OH=12-m
∴PC²=PH²+HC²=

5

4

m2-30m+180
在Rt△BOC中，
∵BO=12，CO=12
∴BC=12

2

又FI∥BO
∴

FC

BC

=

FI

BO

∴FC=

BC•FI

BO

=

12 2 •(6- 1 2 m)

12

=

2

•(6-

1

2

m)
∴

5

4

m2-30m+180=12

2

•

2

•(6-

1

2

m)
∴(

5

2

m-6)•(

1

2

m-6)=0
∴m=

12

5

或m=12．
當m=12時，點P與點C重合，不合題意舍去，故△PCF∽△BCP時，m=

12

5

，即P（

12

5

，

24

5

）．

點評：本題難度較高，第一問為常規(guī)題．第二問，第三問則需要學生明晰自己的解題目標，利用m表示出相關(guān)邊長．這里不僅需要扎實的知識基礎，更要較高的計算能力．這里注意，在直角坐標系中任意兩點的連線長度可以過端點做關(guān)于x軸、y軸平行線構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求得．