Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上一點，連接OP，點A關于OP的對稱點C恰好落在⊙O上．

（1）求證：OP∥BC；

（2）過點C作⊙O的切線CD，交AP的延長線于點D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的直徑AB＝4．

【解析】

（1）由題意可知，根據同弧所對的圓心角相等得到∠AOP＝∠AOC，再根據同弧所對的圓心角和圓周角的關系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等兩直線平行，可得出PO與BC平行；

（2）由CD為圓O的切線，利用切線的性質得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面內垂直于同一條直線的兩直線平行得到OC與AD平行，根據兩直線平行內錯角相等得到∠APO=∠COP，由∠AOP=∠COP，等量代換可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出三角形AOP三內角相等，確定出三角形AOP為等邊三角形，根據等邊三角形的內角為60°得到∠AOP為60°，由OP平行于BC，利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC為等邊三角形，可得出∠COB為60°，利用平角的定義得到∠POC也為60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC為等邊三角形，得到內角∠OCP為60°，可求出∠PCD為30°，在直角三角形PCD中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半，而PC等于圓的半徑OP等于直徑AB的一半，可得出PD為AB的四分之一，即AB=4PD=4．

（1）證明：∵A關于OP的對稱點C恰好落在⊙O上．

∴

∴∠AOP＝∠COP，

∴∠AOP＝∠AOC，

又∵∠ABC＝∠AOC，

∴∠AOP＝∠ABC，

∴PO∥BC；

（2）解：連接PC，

∵CD為圓O的切線，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠APO＝∠COP，

∵∠AOP＝∠COP，

∴∠APO＝∠AOP，

∴OA＝AP，

∵OA＝OP，

∴△APO為等邊三角形，

∴∠AOP＝60°，

又∵OP∥BC，

∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，

∴△BCO為等邊三角形，

∴∠COB＝60°，

∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，

∴△POC也為等邊三角形，

∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，

又∵∠OCD＝90°，

∴∠PCD＝30°，

在Rt△PCD中，PD＝PC，

又∵PC＝OP＝AB，

∴PD＝AB，

∴AB＝4PD＝4．