Question

15．課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．
（1）加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是多少mm？
（2）如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖1，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少？請(qǐng)你計(jì)算．
（3）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定，但這個(gè)矩形面積有最大值，求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xmm，則PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，通過證明△APN∽△ABC，利用相似比可得到$\frac{x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，然后根據(jù)比例性質(zhì)求出x即可；
（2）由于矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，則可設(shè)PQ=x，則PN=2x，AE=80-x，然后與（1）的方法一樣求解；
（3）設(shè)PN=x，用PQ表示出AE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xmm，則PN=PQ=ED=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，
解得x=48．
∴加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是48mm；

（2）如圖2，設(shè)PQ=x，則PN=2x，AE=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2x}{120}$=$\frac{80-x}{80}$，
解得：x=$\frac{240}{7}$，
∴2x=$\frac{480}{7}$，
∴這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別為$\frac{240}{7}$mm，$\frac{480}{7}$mm；

（3）如圖3，設(shè)PN=x（mm），矩形PQMN的面積為S（mm²），
由條件可得△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{120}$=$\frac{80-PQ}{80}$，
解得：PQ=80-$\frac{2}{3}$x．
則S=PN•PQ=x（80-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
故S的最大值為2400mm²，此時(shí)PN=60mm，PQ=80-$\frac{2}{3}$×60=40（mm）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長(zhǎng)與三角形的邊與這邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．