Question

如圖①，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B．D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)BC=x．

（1）當(dāng)BC的長為多少時(shí)，點(diǎn)C到A、E兩點(diǎn)的距離相等？
（2）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；問點(diǎn)A、C、E滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最��？
（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M（0，4），N（3，2），請根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論構(gòu)圖在x軸上找一點(diǎn)P，使PM+PN最小，求出點(diǎn)P坐標(biāo)和PM+PN的最小值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)點(diǎn)C到A、E兩點(diǎn)的距離相等即AC=EC，由勾股定理建立方程，解方程即可；
（2）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小；
（3）根據(jù)在直線OX上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)M、N，在直線OX上有到M、M的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線OX的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與OX的交點(diǎn)就是所要找的P．再利用勾股定理計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵BC=x，BD=8，
∴CD=8-x，
∵AC=EC，
∴x²+5²=（8-x）²+1²，
解得：x=

5

2

，
∴當(dāng)BC=

5

2

時(shí)，點(diǎn)C到A、E兩點(diǎn)的距離相等；

（2）AC+CE=

x2+25

+

x2-16x+65

，
當(dāng)A、C、E在同一直線上，AC+CE最�。�

（3）如圖所示：P（2，0），
∵PM=

OP 2+OM 2

=

20

=2

5

，
PN=

1 2+22

=

5

，
∴PM+PN最小值為 3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解和利用軸對(duì)稱求最短路線問題．