Question

15．如圖，點(diǎn)P是⊙O的直徑BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，PC與⊙O相切于點(diǎn)C，CD⊥AB，垂足為D，連接AC，BC，OC，那么下列結(jié)論：①PC²=PA•PB；②PC•OC=OP•CD；③OA²=OD•OP；④CD²＞BD•AD，正確的有①②③．

Answer 1

分析 ①證明△PBC∽△PCA，即可得到結(jié)論，這實(shí)際上是圓的切割線(xiàn)定理，正確；
②根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)定理，得OC⊥PC，求出△OCD∽△OPC，得出比例式即可，正確；
③根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，即可得出答案，正確；
④證△BDC∽△CDA，即可得出答案，錯(cuò)誤．

解答 解：①∵PC與⊙O相切于點(diǎn)C，
∴∠PCB=∠A，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴PC²=PA•PB；
②∵OC⊥PC，PC切⊙O于C，
∴∠PCO=∠CDO=90°，
∵∠COD=∠POC，
∴△OCD∽△OPC，
∴$\frac{PC}{CD}$=$\frac{OC}{OP}$，
∴PC•OC=OP•CD；
③∵△OCD∽△OPC，
∴$\frac{OC}{OD}$=$\frac{OP}{OC}$，
∴OC²=OD•OP，
∵OA=OC，
∴OA²=OD•OP；
④∵AB為直徑，
∴∠BCA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BCD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△BDC∽△CDA，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴CD²=BD•AD，
∴①②③正確；④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．