Question

18．若兩個二次函數(shù)圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．
（1）請寫出二次函數(shù)y=x²-2x+3的一個“同簇二次函數(shù)”；
（2）已知關于x的二次函數(shù)y₁=x²-2x+3和y₂=ax²+bx+2，若y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y₂的表達式．
（3）已知二次函數(shù)y₁=x²-2x+3，若y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，請直接寫出符合要求的二次函數(shù)y₂的所有表達式．（可用含字母的解析式表示）

Answer 1

分析 （1）首先把函數(shù)y=x²-2x+3化成頂點坐標式，然后根據(jù)“同簇二次函數(shù)”的定義解答即可；
（2）由y₁的圖象經(jīng)過點（1，2）可以求出a、b的值，然后根據(jù)y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y₂的表達式；
（3）利用（2）求得函數(shù)y₂的表達式進而得出答案．

解答 解：（1）∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴y=x²-2x+3的一個“同簇二次函數(shù)”為y=2（x-1）²+2；
（2）y₁+y₂=x²-2x+3+ax²+bx+2
=（a+1）x²+（b-2）x+5，
∵y₁+y₂與y₁為“同簇二次函數(shù)”，
∴y₁+y₂=（a+1）（x-1）²+2
=（a+1）x²-2（a+1）x+（a+1）+2．
其中a+1＞0，即a＞-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-2=-2（a+1）}\\{5=a+1+2}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$．
∴函數(shù)y₂的表達式為：y₂=2x²-4x+2．
（3）二次函數(shù)y₂的所有表達式y(tǒng)₂=n（x²-2x+1）（n＞0）．

點評 此題考查二次函數(shù)的性質，掌握對稱軸與頂點坐標的求法是解決問題的關鍵．