Question

【題目】如圖， 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB為⊙O的直徑．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿CB邊向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求：

（1）t分別為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？
（2）t分別為何值時(shí)，直線PQ與⊙O相切、相離、相交？

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)锳D∥BC，

所以，只要QC=PD，則四邊形PQCD為平行四邊形，

此時(shí)有，3t=24﹣t，

解得t=6，

所以t=6秒時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形．

又由題意得，只要PQ=CD，PD≠Q(mào)C，四邊形PQCD為等腰梯形，

過(guò)P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點(diǎn)，

則由等腰梯形的性質(zhì)可知，EF=PD，QE=FC=2，

所以3t﹣（24﹣t）=4，

解得t=7秒所以當(dāng)t=7秒時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形

（2）

解：設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G，過(guò)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，

則PH=AB=8，BH=AP，

可得HQ=26﹣3t﹣t=26﹣4t，

由切線長(zhǎng)定理得，AP=PG，QG=BQ，

則PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26﹣3t=26﹣2t

由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即 （26﹣2t）2=82+（26﹣4t）2

化簡(jiǎn)整理得 3t2﹣26t+16=0，

解得t1= 或 t2=8，

所以，當(dāng)t1= 或 t2=8時(shí)直線PQ與⊙O相切．

因?yàn)閠=0秒時(shí)，直線PQ與⊙O相交，

當(dāng)t= 秒時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，P點(diǎn)尚未運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，但也停止運(yùn)動(dòng)，直線PQ也與⊙O相交，

所以可得以下結(jié)論：

當(dāng)t1= 或 t2=8秒時(shí)，直線PQ與⊙O相切；

當(dāng)0≤t＜ 或8＜t≤ （單位秒）時(shí)，直線PQ與⊙O相交；

當(dāng) ＜t＜8時(shí)，直線PQ與⊙O相離．

【解析】（1）若PQCD為平行四邊形，則需QC=PD，即3t=24﹣t，得t=6秒；同理只要PQ=CD，PD≠Q(mào)C，四邊形PQCD為等腰梯形，如圖，過(guò)P、D分別作BC的垂線，交BC于E、F點(diǎn)，則EF=PD，QE=FC=2，即3t﹣（24﹣t）=4，解得t=7秒，問(wèn)題得解．（2）因?yàn)辄c(diǎn)P、Q分別在線段AD和BC上的運(yùn)動(dòng)，可以統(tǒng)一到直線PQ的運(yùn)動(dòng)中，要探求時(shí)間t對(duì)直線PQ與⊙O位置關(guān)系的影響，可先求出t為何值時(shí)，直線PQ與⊙O相切這一整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的一瞬，再結(jié)合PQ的初始與終了位置一起加以考慮，設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與⊙O相切于點(diǎn)G，如圖因?yàn)椋珹B=8，AP=t，BQ=26﹣3t，所以，PQ=26﹣2t，因而，過(guò)p做PH⊥BC，得HQ=26﹣4t，于是由勾股定理，可的關(guān)于t的一元二次方程，則t可求．問(wèn)題得解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，以及對(duì)直角梯形的理解，了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形．