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15.如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l于點A,OA=5,OA與⊙O相交于點P,AB與⊙O相切于點B,BP的延長線交直線l于點C.
(1)試判斷線段AB與AC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)若PC=25,求⊙O的半徑.

分析 (1)連接OB,根據(jù)切線的性質(zhì)和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根據(jù)等腰三角形的判定推出即可;
(2)延長AP交⊙O于D,連接BD,設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r,根據(jù)AB=AC推出52-r2=(252-(5-r)2,求出r.

解答 解:(1)AB=AC,理由如下:
連接OB.如圖1,

∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)延長AP交⊙O于D,連接BD,如圖2,

設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5-r,
則AB2=OA2-OB2=52-r2,
AC2=PC2-PA2=(252-(5-r)2
∴52-r2=(252-(5-r)2,
解得:r=3.
答:⊙O的半徑為3.

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定,切線的性質(zhì),勾股定理,直線與圓的位置關(guān)系等知識點的應(yīng)用,主要培養(yǎng)學(xué)生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力.本題綜合性比較強,有一定的難度.

練習(xí)冊系列答案
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如圖(2),在四邊形ABCD中,若AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,則BC、CD、AC具有一定的數(shù)量關(guān)系:BC+CD=2AC.
數(shù)學(xué)思考:
(1)請你寫出圖(2)中數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論:BC+CD=AC.(不要求說理或證明)
(2)如圖(3),在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,則BC、CD、AC具有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請給出證明過程.
拓展探究:
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