Question

3．觀察下列計算
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，…
（1）第5個式子是$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；第n個式是$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）從計算結(jié)果中找規(guī)律，利用規(guī)律計算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+$…+$\frac{1}{2009×2010}$．
（3）計算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+$…+$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）觀察一系列等式得到一般性規(guī)律，寫出第5個式子與第n個式子即可；
（2）原式利用得出的規(guī)律化簡，計算即可得到結(jié)果；
（3）原式變形后，利用得出的規(guī)律化簡，計算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）第5個式子是$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
故答案為：$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$；$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$
=1-$\frac{1}{2010}$
=$\frac{2009}{2010}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．