Question

3．已知點A，B的坐標分別為（-2，3）和（1，3），平移拋物線y=ax²+bx+c（a＜0），該拋物線的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點．
（1）點C橫坐標的最大值是1-$\sqrt{-\frac{3}{a}}$；
（2）若四邊形ACDB為平行四邊形，則a的值是-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）當點C橫坐標取得最大值時，拋物線頂點坐標是（1，3），根據(jù)頂點公式求得b=-2a，b²-4ac=-12a，然后根據(jù)交點坐標公式得出C橫坐標的最大值．
（2）若四邊形ACDB為平行四邊形，則CD=AB=3，設(shè)此時C（x₁，0），D（x₂，0），根據(jù)二次函數(shù)和方程的關(guān)系得出x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出|x₁-x₂|=3，經(jīng)過變形即可求得a的值．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點在線段AB上運動，
∴當頂點運動到B（1，3）時，點C的橫坐標最大，
∴-$\frac{2a}$=1，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=3，
∴b=-2a，b²-4ac=-12a，
∴x=$\frac{-b-\sqrt{^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{2a-\sqrt{-12a}}{2a}$=$\frac{2a-2\sqrt{-3a}}{2a}$=1-$\sqrt{-\frac{3}{a}}$
即C的橫坐標的最大值是1-$\sqrt{-\frac{3}{a}}$；
故答案為1-$\sqrt{-\frac{3}{a}}$；

（2）若四邊形ACDB為平行四邊形，則CD=AB=3，
設(shè)此時C（x₁，0），D（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{a}）^{2}-4×\frac{c}{a}}$=3，
∵頂點的縱坐標為$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=3，
∴b²-4ac=-12a，
∴$\sqrt{-\frac{12}{a}}$=3，
∴9a=-12，解得a=-$\frac{3}{4}$．
故答案為-$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，平行四邊形的性質(zhì)，理解題意并根據(jù)二次函數(shù)和方程的關(guān)系列出關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵，此題是一個比較典型的題目．