如圖,BE、CF分別是△ABC的邊AC、AB上的高,且BP=AC,CQ=AB.求證:
(1)AP=AQ; 
(2)AP⊥AQ.

證明:(1)∵AC⊥BE,AB⊥QC,
∴∠BFP=∠CEP=90°,
∴∠BAC+∠FCA=90°,∠ABP+∠BAC=90°
∴∠FCA=∠ABP,
在△QAC的△APB中,,
∴△QAC≌△APB(SAS),
∴AP=AQ;

(2)∵△QAC≌△APB,
∴∠AQF=∠PAF,
又AB⊥QC,
∴∠QFA=90°,
∴∠FQA+∠FAQ=90°,
∴∠FQA+∠PAF=90°,
即∠PAQ=90°,
∴AP⊥AQ.
分析:(1)首先證明∠FCA=∠ABP,再加上條件BP=AC,CQ=AB可以證明△QAC≌△APB進而得到AP=AQ;
(2)根據(jù)△QAC≌△APB可得∠AQF=∠PAF,再證明∠FQA+∠FAQ=90°可得∠FQA+∠PAF=90°,進而得到∠PAQ=90°,即可證出AP⊥AQ.
點評:此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),以及垂直,關(guān)鍵是證明△QAC≌△APB,根據(jù)全等可證明角和邊的相等關(guān)系.
練習冊系列答案
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