Question

設(shè)，是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式≤≤的實(shí)數(shù)的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為. 對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量與函數(shù)值滿足：當(dāng)m≤≤n時(shí)，有m≤≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”.

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；

（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的表達(dá)式；

（3）若二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，直接寫出實(shí)數(shù)， 的值.

 

Answer 1

（1）是，理由見(jiàn)解析；（2）y=x或；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷.

（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組或，通過(guò)解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值.

（3）因?yàn)?/span>，所以該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口方向向上，最小值是，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；根據(jù)新定義運(yùn)算法則分三種情況列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，解方程組即可求得a、b的值.　

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”. 理由如下：

∵反比例函數(shù)在第一象限，y隨x的增大而減小，且

當(dāng)x=1時(shí)，y=2014；當(dāng)x=2014時(shí)，y=1，

∴當(dāng)1≤x≤2014時(shí)，有1≤y≤2014，符合閉函數(shù)的定義，故反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”.

（2）分兩種情況：k＞0或k＜0．

①當(dāng)k＞0時(shí)，一次函數(shù)的圖象是y隨x的增大而增大，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，

，解得.

∴此函數(shù)的解析式是y=x.

②當(dāng)k＜0時(shí)，一次函數(shù)的圖象是y隨x的增大而減小，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，

，解得.

∴此函數(shù)的解析式是.

（3）∵，

∴該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口方向向上，最小值是，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大.

①當(dāng)b≤2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而減小，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，

，解得，（不合題意，舍去）或.

②當(dāng)a＜2＜b時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)的最小值是=a，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得

或.

a）當(dāng)時(shí)，由于，不合題意，舍去；

b）當(dāng)時(shí)，解得，

∵b＞2，∴.

③當(dāng)a≥2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而增大，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，

，解得，.

∵＜0，∴舍去.

綜上所述，或.

考點(diǎn)：1.新定義；2.反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)；3.解二元方程組；4.分類思想的應(yīng)用.