Question

已知：O是坐標原點，P（m，n）（m＞0）是函數(shù)y=（k＞0）上的點，過點P作直線PA⊥OP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點A（a，0）（a＞m）．設(shè)△OPA的面積為s，且s=1+．（1）當n=1時，求點A的坐標；
（2）若OP=AP，求k的值；
（3）設(shè)n是小于20的整數(shù)，且k≠，求OP²的最小值．

Answer 1

解：過點P作PQ⊥x軸于Q，則PQ=n，OQ=m，
（1）當n=1時，s=，∴a==．
∴A（，0）
（2）解法一：
∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n=．
∴1+=an．
即n⁴﹣4n²+4=0，
∴k²﹣4k+4=0，
∴k=2．
解法二：
∵OP=AP，PA⊥OP，
∴△OPA是等腰直角三角形．
∴m=n．
設(shè)△OPQ的面積為s₁
則：s₁=×mn=（1+），
即：n⁴﹣4n²+4=0，
∴k²﹣4k+4=0，
∴k=2．
（3）
∵PA⊥OP，PQ⊥OA，
∴△OPQ∽△OAP．
設(shè)：△OPQ的面積為s₁，則=
即：=化簡得：
2n⁴+2k²﹣kn⁴﹣4k=0
（k﹣2）（2k﹣n4）=0，
∴k=2或k=（舍去），
∴當n是小于20的整數(shù)時，k=2．
∵OP²=n²+m²=n²+又m＞0，k=2，
∴n是大于0且小于20的整數(shù)．
當n=1時，OP²=5，
當n=2時，OP²=5，
當n=3時，OP²=3²+=9+=，
當n是大于3且小于20的整數(shù)時，
即當n=4、5、6…19時，OP²的值分別是：
42+、52+、62+…192+，
∵192+＞182+＞32+＞5，
∴OP²的最小值是5．