Question

已知，直線y₁=k₁x和反比例函數(shù)y₂=

k2

x

的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）和點(diǎn)B，過A點(diǎn)作AE⊥x軸，垂足為E點(diǎn)．
（1）則k₁=

2

，k₂=

8

S_△AOE=

4

；
（2）根據(jù)圖象，寫出不等式k₁x＞

k2

x

的解集；
（3）P為x軸上的點(diǎn)，且△POA是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）Q為坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，且以點(diǎn)B、O、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足條件的所有Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A坐標(biāo)代入正比例解析式中求出k₁的值，代入反比例解析式求出k₂的值，由A的坐標(biāo)求出AE與OE的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出三角形AOE面積即可；
（2）根據(jù)對(duì)稱性求出B的坐標(biāo)，利用圖象找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)x的范圍即可；
（3）在直角三角形AOE中，有AE與OE長(zhǎng)，利用勾股定理求出OA長(zhǎng)，分兩種情況考慮：以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于P₁，P₂兩點(diǎn)，求出此時(shí)P₁與P₂的坐標(biāo)；以A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于P₃，求出此時(shí)P₃的坐標(biāo)即可；
（4）如圖所示，過B作Q₁Q₂∥OE，截取BQ₁=BQ₂=OE=2，求出此時(shí)Q₁與Q₂的坐標(biāo)；延長(zhǎng)Q₁O，Q₂E，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q₃，求出此時(shí)Q₃坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將A（2，4）代入直線y₁=k₁x得：4=2k₁，即k₁=2；
將A（2，4）代入反比例解析式y(tǒng)₂=

k2

x

得：4=

k2

2

，即k₂=8；
∵A（2，4），即AE=4，OE=2，
∴S_△AOE=

1

2

AE•OE=4；
                     
（2）由對(duì)稱性得到B（-2，-4），
根據(jù)圖象得：k₁x＞

k2

x

的解集為x＞2或-2＜x＜0；

（3）如圖所示，在Rt△AOE中，AE=4，OE=2，
根據(jù)勾股定理得：OA=

42+22

=2

5

，
以O(shè)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于P₁，P₂兩點(diǎn)，
此時(shí)P₁（-2

5

，0），P₂（2

5

，0）；
以A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧，與x軸交于P₃，此時(shí)P₃（4，0）；
綜上，滿足題意P的坐標(biāo)為（-2

5

，0）或（2

5

，0）或（4，0）；

（4）如圖所示，過B作Q₁Q₂∥OE，截取BQ₁=BQ₂=OE=2，此時(shí)Q₁（-4，-4），Q₂（0，-4）；
延長(zhǎng)Q₁O，Q₂E，延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q₃，此時(shí)Q₃（4，4）．
故答案為：2；8；4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，第3、4問是探究性試題，注意點(diǎn)坐標(biāo)找對(duì)找全．