Question

已知：開口向下的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于M、N兩點（點N在M的右側(cè)），并且M、N兩點的橫坐標分別是方程x²-2x-3=0的兩根，點K是拋物線與y軸的交點，∠MKN不小于90°．
（1）求點M和N的坐標．
（2）求系數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）可根據(jù)先求出方程x²-2x-3=0的兩根，然后根據(jù)M，N的左右位置來確定它們的坐標．
（2）可先用交點式設(shè)出拋物線的解析式，由于拋物線過M，N，因此可將拋物線設(shè)為y=a（x²-2x-3），求∠MKN不小于90°時a的取值范圍，那么可先求出∠MKN=90°時，a的值．當∠MKN=90°時，可根據(jù)射影定理求出OK的長，也就求出了a的值，進而可得出a的取值范圍．（要注意的是拋物線開口向下的條件，即a＜0）．

解答：解：（1）由題意：x²-2x-3=0，x=3，x=-1．
由于N在點M的左側(cè)，因此M，N的坐標分別是M（-1，0），N（3，0）；

（2）拋物線與x軸交于M（-1，0），N（3，0）兩點，則y=a（x²-2x-3），
拋物線開口向下，則a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
當∠MKN=90°時，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°，
∴∠MKO=∠KNO，
∵∠MOK=∠KON=90°，
∴△MOK∽△KON，
∴MO：KO=KO：ON，即

1

-3a

=

-3a

3

，
∴a²=

1

3

，a=-

3

3

．
由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范圍是-

3

3

≤a＜0．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，（2）中求出∠MKN=90°時a的取值是解題的關(guān)鍵．