Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c（0，3）．
（1）求此拋物線所對應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在其對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)設(shè)拋物線餓表達(dá)式是y=a（x+1）（x-3），把C的坐標(biāo)代入求出a，即可得出答案；
（2）求出D的坐標(biāo)和對稱軸的表達(dá)式，分為兩種情況：①若以CD為底邊，則PC=PD．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)勾股定理求出b=4-a，代入拋物線求出a、b，②若以CD為一腰，根據(jù)拋物線對稱性得出點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱，即可求出P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）拋物線與x軸交于點(diǎn)（-1，0）和（3，0），
設(shè)表達(dá)式為y=a（x+1）（x-3），
又點(diǎn)（0，3）在拋物線上，則3=a×1×（-3），
∴a=-l
故所求的表達(dá)式為：y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對稱軸為x=1，
①若以CD為底邊，則PC=PD．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）^2，
即b=4-a．      
又點(diǎn)P（a，b）在拋物線上，b=-a²+2a+3，
則 4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得（不合題意，舍去）
∴，
則，
P（，）；
②若以CD為一腰，因點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，3），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（）或（2，3）．
點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，勾股定理，等腰三角形的判定等知識點(diǎn)的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．