Question

3．問(wèn)題背景：△AOB、△COD是兩個(gè)等腰直角三角形，現(xiàn)將直角頂點(diǎn)以及兩直角邊都重合在一起，如圖1所示，點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)到E使PE=BP，連接EC，作平行四邊形ACEF，小林針對(duì)平行四邊形ACEF形狀進(jìn)行了如下探究：
觀察操作：（1）小林先假設(shè)小等腰直角三角形的直角邊非常小，這時(shí)三角形可以看作一個(gè)點(diǎn)，如圖2所示，并提出猜想四邊形ACEF是正方形；
猜想證明：（2）小林對(duì)比圖1和圖2的情形，完成了（1）中的猜想，請(qǐng)借助圖1幫他證明這個(gè)猜想．
拓展延伸：（3）如圖3所示，現(xiàn)將等腰直角三角形COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，其它條件都不改變，原來(lái)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知直接證明有一個(gè)直角且鄰邊相等即可；
（2）通過(guò)證明三角形CEP和三角形DBP全等，結(jié)合等量代換即可證明；
（3）與（2）同理可證EC=DB，EC∥DB，進(jìn)一步證明△AOC≌△BOD，結(jié)合等量代換和平行線的性質(zhì)即可解答．

解答 解：（1）正方形；
如圖2，

∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOE=90°，AO=BO，
∵OE=BO，
∴AO=OE，
∴平行四邊形ACEF是正方形；
（2）如圖1，

∵P是CD的中點(diǎn)，
∴PC=PD，
在△CPE和△BPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PE}\\{∠CPE=∠DPB}\\{PE=PB}\end{array}\right.$，
∴△CPE≌△BPD，
∴EC=DB，
∵OA=OB，OC=OD，
∴AC=DB，
∴EC=AC，
∴平行四邊形ACEF是菱形，
∵△CPE≌△BPD，
∴∠CEP=∠DBP，
∴EC∥OB，
∵∠O=90°，
∴∠ACE=90°，
∴菱形ACEF是正方形；
（3）如圖3，

與（2）同理可證△CPE≌△BPD，
∴EC=DB，EC∥DB，
∵∠AOC+∠COB=∠COB+∠DOB=90°，
∴∠AOC=∠DOB，
在△AOC和△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∵∠COD=90°，
∴△AOC可以看作△BOD順時(shí)針繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°得到，
∴AC⊥DB，AC=DB，
∴EC=AC，
∴平行四邊形ACEF是菱形，
∵EC∥DB，
∴AC⊥EC，
∴菱形ACEF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查幾何變換中的旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)中找到并證明全等三角形，并靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．