Question

如圖（1），由直角三角形邊角關(guān)系，可將三角形面積公式變形得到S△ABC=

1

2

bcsinA…①
即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦值之積的一半
如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD，由公式①得到

1

2

AC•BC•sin(α+β)=

1

2

AC•CD•sinα+

1

2

BC•CD•sinβ
即AC•BC•sin（α+β）=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ…②
你能利用直角三角形關(guān)系及等式基本性質(zhì)，消去②中的AC、BC、CD嗎？若不能，說明理由；若能，寫出解決過程．并利用結(jié)論求出sin75°的值．

Answer 1

分析：將等式的兩邊同時除以AC和BC，然后將cosβ=

CD

BC

、cosα=

CD

AC

代入，整理即可消去②中的AC、BC、CD，分別令α=30°，β=45°代入消去后的式子可得出sin75°的值．

解答：解：①能消去②中的AC、BC、CD．
將AC•BC•sin（α+β）=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ，兩邊同除以AC•BC得：
sin（α+β）=

CD

BC

•sinα+

CD

AC

•sinβ③，
又∵cosβ=

CD

BC

、cosα=

CD

AC

，
代入③可得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ．
②由sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ得：sin75°=sin（30°+45°）=sin30°•cos45°+cos30°•sin45°
=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 + 6

4

．

點評：本題考查了解直角三角形的知識，題目比較長，突破口在于熟練掌握直角三角形中三角函數(shù)的表示形式，例如題中的cosβ=

CD

BC

、cosα=

CD

AC

，另外在解答這樣閱讀型題目時，一定要有耐心，仔細分析題意，切忌看見比較長的題目就無從下手．