Question

當(dāng)任意k個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中都必有一個(gè)正整數(shù)，它的數(shù)字之和是11的倍數(shù)時(shí)，我們把其中每個(gè)連續(xù)k個(gè)正整數(shù)的片斷都叫做一條長度為k的“龍”，求最短的“龍”的長度．

Answer 1

分析：首先證k≤28時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)不成立，由當(dāng)k=28時(shí)，對于1，2，3，4，…，28這28個(gè)連續(xù)整數(shù)，任意一個(gè)數(shù)的數(shù)字之和均不能被11整除，即可得k≤28時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)不成立；然后證k=29時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)成立，由于設(shè)a₁，a₂，…，a₂₉為任意的連續(xù)29個(gè)正整數(shù)，則這29個(gè)正整數(shù)中，個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)最多有三個(gè)，最少有兩個(gè)，所以分別從當(dāng)a₁，a₂，…，a₂₉中個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)有三個(gè)、兩個(gè)，個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)時(shí)去分析即可求得答案．

解答：解：先證k≤28時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)不成立．
當(dāng)k=18時(shí)，對于1，2，3，…，28這28個(gè)連續(xù)整數(shù)，任意一個(gè)數(shù)的數(shù)字之和均不能被11整除．
故k≤28時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)不成立．
因此，要使題設(shè)的性質(zhì)成立，應(yīng)有k≥29．
再證k=29時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)成立．
設(shè)a₁，a₂，…，a₂₉為任意的連續(xù)29個(gè)正整數(shù)，則這29個(gè)正整數(shù)中，個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)最多有三個(gè)，最少有兩個(gè)，可以分為：
（1）當(dāng)a₁，a₂，…，a₂₉中個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)有三個(gè)時(shí)，
設(shè)a_i＜a_j＜a_m，且a_i、a_j、a_m的個(gè)位數(shù)字為0，則滿足a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j+1…a_m為連續(xù)的20個(gè)整數(shù)，其中a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_m無進(jìn)位．
設(shè)n_i表示a_i各位數(shù)字之和，則前20個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和分別為n_i，n_i+1，…，n_i+11．
故這連續(xù)的20個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)被11整除．
（2）當(dāng)a₁，a₂，…，a₂₉中個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)有兩個(gè)時(shí)（記為a_i），
①若整數(shù)i滿足1≤i≤11時(shí)，則在a_i后面至少有18個(gè)連續(xù)整數(shù)，于是a_i，a_i+1，…，a_i+11這18個(gè)連續(xù)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和也為11個(gè)連續(xù)整數(shù)，所以，必有一個(gè)數(shù)能被11整除．
②若整數(shù)i滿足12≤i≤29時(shí)，則在a_i前面至少有12個(gè)連續(xù)整數(shù)，不妨設(shè)a_i-12，a_i-11，…，a_i-1這12個(gè)連續(xù)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和也為12個(gè)連續(xù)整數(shù)，所以，必有一個(gè)數(shù)能被11整除．
綜上，對于任意29個(gè)連續(xù)整數(shù)中，必有一個(gè)數(shù)，其各位數(shù)字之和是11的倍數(shù)．
而小于28個(gè)的任意連續(xù)整數(shù)不成立此性質(zhì)．
∴k的最小值是29．

點(diǎn)評：此題考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意分類討論你思想的應(yīng)用．