Question

已知：如圖，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設(shè)點P的運動時間t（s），解答下列各問題：

（1）求△ABC的面積；

（2）當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（3）設(shè)四邊形APQC的面積為y（cm²），求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在請說明理由．

Answer 1

考點：

等邊三角形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用；勾股定理．.

專題：

動點型．

分析：

（1）過點A作AD⊥BC，求出AD的長，利用三角形的面積公式進行解答即可；

（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達式和∠B的度數(shù)進行求解即可．

（3）本題可先用△ABC的面積﹣△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數(shù)關(guān)系式，然后另y等于三角形ABC面積的三分之二，可得出一個關(guān)于t的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．

解答：

解：（1）過點A作AD⊥BC，則AD=×BC×AB•sin60°=×3×3×=；

（2）設(shè)經(jīng)過t秒△PBQ是直角三角形，

則AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=（3﹣t）cm，

△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

當(dāng)∠BQP=90°時，BQ=BP，

即t=（3﹣t），t=1（秒），

當(dāng)∠BPQ=90°時，BP=BQ，

3﹣t=t，t=2（秒），

答：當(dāng)t=1秒或t=2秒時，△PBQ是直角三角形．

（3）過P作PM⊥BC于M，

△BPM中，sin∠B=，

∴PM=PB•sin∠B=（3﹣t），

∴S_△PBQ=BQ•PM=•t•（3﹣t），

∴y=S_△ABC﹣S_△PBQ=×3²×﹣×t×（3﹣t）

=t²﹣t+，

∴y與t的關(guān)系式為y=t²﹣t+，

假設(shè)存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的，

則S_{四邊形APQC}=S_△ABC，

∴t²﹣t+=××3²×，

∴t²﹣3t+3=0，

∵（﹣3）²﹣4×1×3＜0，

∴方程無解，

∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．

點評：

本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的判定及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．