Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（－2，0）、（0，4）.動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位的速度在y軸上從點(diǎn)B出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O停止，點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng).以CP、CO為鄰邊構(gòu)造□PCOD，在線段OP的延長(zhǎng)線長(zhǎng)取點(diǎn)E，使得PE=2.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求證:四邊形ADEC是平行四邊形；

（2）以線段PE為對(duì)角線作正方形MPNE，點(diǎn)M、N分別在第一、四象限.

①當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，求出所有滿足條件的t的值；

②若點(diǎn)M、N中恰好只有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的內(nèi)部（不包括邊界）時(shí)，設(shè)□PCOD的面積為S，直接寫(xiě)出S的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）t=或t=1；（3）≤S＜2．

【解析】

試題分析：（1）連接CD交OP于點(diǎn)G，由PCOD的對(duì)角線互相平分，得四邊形ADEC是平行四邊形；

（2）①第一種情況，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，由△EMF∽△ECO，再利用正方形對(duì)角線相等求解；第二種情況，當(dāng)點(diǎn)N在DE邊上時(shí)，由△EFN∽△EPD，再利用正方形對(duì)角線相等求解；

②當(dāng)≤t≤1時(shí)，求出S的取值范圍．

試題解析：（1）如圖1，連接CD交AE于F，

∵四邊形PCOD是平行四邊形，

∴CF=DP，OF=PF，

∵PE=AO，

∴AF=EF，又CF=DP，

∴四邊形ADEC為平行四邊形；

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在CE上時(shí)，第一種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)M在CE邊上時(shí)，

∵MF∥OC，

∴△EMF∽△ECO，

∴，

∵四邊形MPNE為正方形，

∴MF=EF，

∴CO=EO，即4-2t=t+2，

∴t=；

第二種情況：當(dāng)點(diǎn)N在DE邊時(shí)，

∵NF∥PD，

∴△EFN∽△EPD，

∴，

∵四邊形MPNE為正方形，

∴NF=EF，

∴PD=PE，即4-2t=2，

∴t=1；

∴當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí)，所有滿足條件的t的值為t=或t=1；

②∵≤t≤1，

S=（4-2t）t=-2t2+4t=-2（t-1）2+2，

∴點(diǎn)M、N中恰好只有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的內(nèi)部（不包括邊界）時(shí)，≤S＜2．