Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（-1，0）．

（1）請直接寫出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)：B（  ，  ），C（  ，  ）；
（2）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A，B兩點(diǎn)重合的動點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過點(diǎn)C．此時，EF所在直線與（2）中的拋物線交于第一象限的點(diǎn)M．當(dāng)AE=2時，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P使△PEM是等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）、；（2）；（3）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，）.

試題分析：（1）如圖，已知∠CAB=60⁰，所以∠ACO=30⁰，所以AC=2AO,又由A（-1，0）．可知AO=1，所以AC=2，
在Rt△ACB中，∠ABC=30⁰，所以AB=2AC,即AB=4，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3,0）由勾股定理可得CO=.所以
點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：、.
如圖，已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可設(shè)拋物線的解析式為：，再由點(diǎn)C
的坐標(biāo)求出a的值即可求解.
（3）求滿足使△PEM為等腰三角形的動點(diǎn)P的坐標(biāo)，一般地，當(dāng)一等腰三角形的兩腰不明確時，應(yīng)分類討論如下：①當(dāng)EP=EM時，即以點(diǎn)E為圓心，以EM為半徑作圓與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P；②當(dāng)EM=PM時，即以點(diǎn)M為圓心，以EM為半徑作圓與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P；③當(dāng)PE=PM時，線段EM的垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.先由已知求證△CAE為等邊三角形，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再依次求出上述各種情況下滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
試題解析：
解：（1）、.
（2）∵點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴可設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為，
∵點(diǎn)C（0，）也在此拋物線上，
∴， 解得：，
∴此拋物線的解析式為即．
存在．如圖所示：

∵AE=2，
∴OE=1，
∴E（1，0），此時，△CAE為等邊三角形．
∴∠AEC=∠A=60°．
又∵∠CEM=60°，
∴∠MEB=60°．
∴點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
∵C（0，），
∴M（2，）．
過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N（2，0），
∴MN=．
∴ EN=1．
∴．
若△PEM為等腰三角形，則：
①如圖1，當(dāng)EP=EM時，∵EM=2，且點(diǎn)P在直線x=1上，∴P（1，2）或P（1，-2）．
②如圖2，當(dāng)EM=PM時，點(diǎn)M在EP的垂直平分線上，∴P（1，）．
③如圖3，當(dāng)PE=PM時，點(diǎn)P是線段EM的垂直平分線與直線x=1的交點(diǎn)，∴P（1，）．
∴綜上所述，存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，）時，△EPM為等腰三角形．
考點(diǎn),1、求二次函數(shù)解析式；2、動點(diǎn)問題-滿足等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo).