Question

如圖，在△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E為垂足，連接AE．
（1）寫出圖中所有相等的線段，并選擇其中一對給予證明；
（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，所以CD=2ED，則可證明DE=AD，再利用三角形的內角和定理可判斷∠DAE=∠DEA=30°，∠EAB=∠EBA=15°，∠CBE=∠BCE=45°，則圖中相似三角形和相等的線段都可求．
解答：解：（1）ED=DA，EA=EB=EC．
證明：
∵CE⊥BD，
∴△CED是直角三角形．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°．
∴CD=2DE．
∵CD=2DA，
∴DE=DA．

（2）有，△ADE∽△AEC．
由（1）的結論可知∠DAE=∠DEA=30°=∠ECA，
∴△ADE∽△AEC．
點評：此題主要考查了三角形的內角和定理、直角三角形中30°角的特殊性質，及相似三角形的判定定理．