Question

如圖，在四邊形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG²+FH²=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：

分析：接HG，EH，EF，F(xiàn)G，易證四邊形HEFG是平行四邊形，因?yàn)锳C⊥BD，所以HG⊥EH，所以四邊形HEFG為矩形，進(jìn)而可得EG²+FH²=EF²+FG²+EF²+EH²=5²+5²=50，問題得解．

解答：解：連接HG，EH，EF，F(xiàn)G，
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴HG=EF=

1

2

AC=4，EH=FG=

1

2

BD=3，
∵E，H，是AB，AD中點(diǎn)，
∴HE∥BD，HE=

1

2

BD，
同理FG∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，
∴四邊形HEFG是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴HG⊥EH，
∴四邊形HEFG為矩形，
∴EG²+FH²=EF²+FG²+EF²+EH²=5²+5²=50，
故答案為：50

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線利用三角形中位線定理解題．