Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D是AB中點(diǎn)，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)D上，使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)三角板兩邊分別交邊AC、BC于F、E時(shí)，線段EF與AF、BE有怎樣的關(guān)系并加以證明．
（2）如圖1，設(shè)AF=x，四邊形CEDF的面積為y．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍．
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板一邊DM經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，另一邊DN交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE與CD延長(zhǎng)線交于H，如圖2，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)ED至DG，使DG=DE，連接AG，F(xiàn)G，證明△BED≌△AGD，可以得出∠GAD=∠B，AG=BE，由∠BAC+∠B=90°，得出∠GAF=90°，得出△GAF是直角三角形，∵M(jìn)D⊥DN，GD=DE，得出FG=EF，由勾股定理就可以得出AG²+AF²=FG²，從而得出結(jié)論．
（2）作FR⊥AB，ES⊥AB分別于R、S，在Rt△ARF中由勾股定理可以表示出FR，從而可以表示出△FAD的面積，由勾股定理，得CF²+CE²=EF²，再由（1）的結(jié)論建立等量關(guān)系表示出BE，從而求出ES，就可以表示出△EDB的面積，進(jìn)而可以表示出y的值．
（3）作AP⊥MD，交MD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，由條件可以求出AP=

3

，DE=2

3

，EC=4，可以求出△ACE的面積，然后用S_△AHC+_S△CHE=S_△AEC建立等量關(guān)系可以求出CH的值，再減去CD的值就求出了DH．

解答：解：（1）線段EF與AF、BE的關(guān)系為：EF²=AF²+BE²．理由如下：
延長(zhǎng)ED至DG，使DG=DE，連接AG，F(xiàn)G，如圖1，
∵FD⊥GN，
∴FG=EF．
∵D是AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∵∠ADG=∠EDB，
∴△BED≌△AGD，
∴AG=BE，∠GAD=∠B．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴∠BAC+∠DAG=90°，
∴AG²+AF²=FG²．
∴EF²=AF²+BE²．

（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如圖3）
∴∠FRA=∠ESB=90°．
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠SEB=30°，
∴SB=

1

2

BE，SE=

3

SB．
∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF²+CE²=EF²，
∵EF²=AF²+BE²，
∴CF²+CE²=AF²+BE²，
∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，AC=2

3

，
∴CF=2

3

-x，CE=2-BE．
∴（2

3

-x）²+（2-BE）²=x²+BE²
∴BE=4-

3

x，
∴SB=2-

1

2

3

x，
∴SE=2

3

-

3

2

x，
∴y=

1

2

×2×2

3

-2×

1

2

x•

1

2

-

1

2

×2×（2

3

-

3

2

x），
y=2

3

-

1

2

x-2

3

+

3

2

x，
y=x
當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，ED=CD=2，DF=

2

3

3

，則CF=

4

3

3

，
∴x=

2

3

3

；
當(dāng)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，AF=

4

3

3

，
∴x的取值范圍為：

2

3

3

≤x≤

4

3

3

（3）作AP⊥MD，（如圖2）
∴AP=

3

，
∵CD=2，
∴DE=2

3

，EC=4，
∴S_△AHC+_S△CHE=S_△AEC．
∴

1

2

×

3

CH+

1

2

×CH×2

3

=

1

2

×4×2

3

，
∴CH=

8

3

，
∴DH=

8

3

-2=

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，含30°的直角三角形的性質(zhì)．