Question

已知：一條拋物線的開口向上，頂點(diǎn)為A（-2，0），與y軸相交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC∥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD∥AB，交x軸于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）試探索：AC與BD能否互相垂直？如果能，請求出以這條拋物線為圖象的二次函數(shù)的解析式；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再通過證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出AD的長即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）本題需先根據(jù)題意求出BO的長，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式求出a的值，即可得出結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得點(diǎn)B、C關(guān)于直線x=-2對稱，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-4．
∴BC=4．
∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴AD=4．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，0）．

（2）能．
要使AC與BD互相垂直，必須使平行四邊形ABCD是菱形，
即AB=BC=4．
∵AO=2，∴BO=2

3

，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2

3

）．
設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）²．
代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，得2

3

=4a．
∴a=

3

2

．
∴當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y=

3

2

x2+2

3

x+2

3

時，AC⊥BD．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，在解題時要能把二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與平行四邊形及菱形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．