Question

9．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的角平分線交于點(diǎn)D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F；
（1）問四邊形CFDE是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若AC=6，BC=8，則CF的長(zhǎng)為多少？

Answer 1

分析 （1）首先利用垂直的定義證得四邊形CFDE是矩形，然后利用角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，從而判定該四邊形是正方形．
（2）由勾股定理求出AB，由正方形的性質(zhì)得出CF=DF=DE，設(shè)CF=DF=DE=x，則△ABC的面積=△ABD的面積+△BDE的面積+正方形CFDE的面積+△ADF的面積，解方程即可．

解答 解：（1）四邊形CFDE是正方形，理由如下：
∵∠C=90°，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴四邊形DECF為矩形，
∵∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，
∴D為△ABC的內(nèi)心，
∴DF=DE，
∴四邊形CFDE是正方形．
（2）∵∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵四邊形CFDE是正方形，
∴CF=DF=DE，
設(shè)CF=DF=DE=x，
則△ABC的面積=△ABD的面積+△BDE的面積+正方形CFDE的面積+△ADF的面積
=$\frac{1}{2}$×10x+$\frac{1}{2}$（8-x）x+x²+$\frac{1}{2}$（6-x）x=$\frac{1}{2}$×6×8，
解得：x=2，
即CF的長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是利用正方形的判定方法證得四邊形CFDE是正方形．