Question

如圖，矩形OABC在第一象限，OA，OC分別于x軸，y軸重合，面積為6．矩形與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交BC于M，交BA于N，連接OB，MN，若2OB=3MN，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

專題：

分析：設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，根據(jù)矩形的面積表示出OC，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示出AN、CM，然后求出BM、BN，再利用勾股定理列式求出OB²、MN²，然后根據(jù)2OB=3MN列出關(guān)于a、k的方程，求解得到k的值再根據(jù)矩形的面積判斷出k的取值范圍，從而得解．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，則OA=a，
∵矩形OABC的面積為6，
∴OC=

6

a

，
∴AN=

k

a

，
∵點(diǎn)M在BC上，
∴

k

x

=

6

a

，
解得x=

ka

6

，
∴CM=

ka

6

，
∴BM=BC-CM=a-

ka

6

，
BN=AB-AN=

6

a

-

k

a

，
由勾股定理得，OB²=OA²+AB²=a²+（

6

a

）²=

1

a2

（a⁴+36），
MN²=BM²+BN²=（a-

ka

6

）²+（

6

a

-

k

a

）²=

a2

36

（6-k）²+

1

a2

（6-k）²=

1

36

（6-k）²•

1

a2

（a⁴+36），
∵2OB=3MN，
∴4OB²=9MN²，
∴4×

1

a2

（a⁴+36）=9×

1

36

（6-k）²•

1

a2

（a⁴+36），
∴（6-k）²=16，
解得k₁=2，k₂=10，
∵矩形OABC的面積為6，點(diǎn)B在雙曲線上方，
∴k＜6，
∴k的值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用勾股定理列式表示出OB²、MN²，然后得到關(guān)于k飛方程是解題的關(guān)鍵．