Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，點(diǎn)P、Q同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，分別以2cm/s和1cm/s的速度沿著線段CB和線段CD運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)D，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ與△ABP相似；
（2）設(shè)△APQ與梯形ABCD重合的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)A、D分別作BC邊上的垂線，垂足分別為E、F．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四邊形AEFD是矩形，
∵∠D=120°，
∴∠BAE=120°-90=30°；
又∵AB=CD=20cm，
∴BE=CF=10cm，
∵AD=40cm，
∴EF=AD=40cm，
∴BC=40+10+10=60（cm），
∵△QCP∽△ABP，
∴=，即=，解得t=10，
∴當(dāng)t為10時(shí)，△CPQ與△ABP相似．

（2）由（1）知∠BAE=30°，
∵AB=20，
∴AE=10；
∵S_△ABP=（60-2t）×，S_△ADQ=×40×（10-），S_△PCQ=×2t×t，
S_梯形ABCD=×（40+60）×=500，
∴S_△APQ=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△ADQ-S_△PCQ=-t²，即S=-t²，
∵當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)D，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，
∴解得0＜t＜20，即S=-t²（0＜t＜20）．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)A、D分別作BC邊上的垂線，垂足分別為E、F，根據(jù)等腰梯形及直角三角形的性質(zhì)求得BC=60，再由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求解；
（2）在直角三角形中求得梯形的高AE=10，進(jìn)而求得S_△ABP，S_△ADQ，S_△PCQ，S_梯形ABCD；S_△APQ=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△ADQ-S_△PCQ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（2）中，要根據(jù)t的運(yùn)動(dòng)范圍來(lái)求其取值范圍．