Question

【題目】如圖，正方形 ABCD 中，P 是 BA 延長線上一點(diǎn)，且PDA （0 45）.點(diǎn) A，點(diǎn) E 關(guān)于 DP 對(duì)稱，連接 ED，EP ，并延長 EP 交射線CB 于點(diǎn) F ，連接 DF .

（1）請按照題目要求補(bǔ)全圖形.

（2）求證：∠EDF=∠CDF

（3）求∠EDF(含有 的式子表示)；

（4）過 P 做PH⊥DP交 DF 于點(diǎn) H ，連接 BH ， 猜想 AP 與 BH 的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

Answer 1

【答案】(1)圖見解析，（2）證明見解析；（3）∠EDF=45°，（4）BH=.

【解析】

（1）根據(jù)題目條件直接作圖即可；

（2）根據(jù)對(duì)稱可知DE=AD，∠PAD=∠DEP=90°，易證Rt△EDF≌Rt△CDF，即可得到結(jié)論.（3）根據(jù)（2）可得∠EDF=∠CDF=∠PDC，即可得∠EDF=45°+；

（4）作HG⊥PB，構(gòu)造△PDA≌△HPG和等腰直角△HGB.由（3）得∠EDF=45°+；可得∠PDH=45°，△PDG是等腰直角三角形，得PD=PH,進(jìn)而可證△PDA≌△HPG， HG=PA=BG，即可得△HGB是等腰直角三角形，所以BH=PA.

(1)如圖：

（2）證明：∵點(diǎn)A，點(diǎn)E關(guān)于DP對(duì)稱，

∴DE=AD，∠PAD=∠DEP，

∵在正方形ABCD中，AD=CD，∠C=∠DAB=90°，

∴DE=CD，∠E=∠C=90°，

在Rt△EDF和Rt△CDF中，

，

∴Rt△EDF≌Rt△CDF（HL），

∴∠EDF=∠CDF.

（3）由（2）得∠EDF=∠CDF=∠PDC，

又∵∠PDC=90°+2.

∴∠EDF=45°+.

（4）結(jié)論：BH=PA.

如圖：過H點(diǎn)作HG垂直于PB，

∵∠PDF=∠EDF-∠EPD，

∵∠EDF=45°+，∠EPD=，

∴∠PDF=45°.

又∵PD⊥PF，

∴△PDG是等腰直角三角形，

∴AP=HP，

又∵∠PDA+∠DPA=90°，∠PDA+∠HPA=90°，

∴∠PDA=∠HPA,

在△PDA和△HPG中，

，

∴△PDA≌△HPG（AAS）

∴PA=HG,DA=PG,

∵DA=AB

∴BG=PA，

∴△HGB為等腰直角三角形，

∴BH=，

∴BH=PA.