Question

如圖，在平面直角坐標系中．四邊形OABC是平行四邊形．直線l經(jīng)過O、C兩點．點A的坐標為（8，0），點B的坐標為（11，4），動點P在線段OA上從點O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A→B→C的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線O一C-B相交于點M．當P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒（t＞0）．△MPQ的面積為S．
（1）點C的坐標為______，直線l的解析式為______．
（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．
（3）試求題（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值．
（4）隨著P、Q兩點的運動，當點M在線段CB上運動時，設(shè)PM的延長線與直線l相交于點N．試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值．

Answer 1

解：（1）由題意知：點A的坐標為（8，0），點B的坐標為（11.4），
且OA=BC，故C點坐標為C（3，4），
設(shè)直線l的解析式為y=kx，
將C點坐標代入y=kx，
解得k=，
∴直線l的解析式為y=x；
故答案為：（3，4），y=x；


（2）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t．分三種情況討論：
①當0＜t≤時，如圖1，M點的坐標是（t，t）．
過點C作CD⊥x軸于D，過點Q作QE⊥x軸于E，可得△AEQ∽△ODC，
∴，
∴，
∴AE=，EQ=t，

∴Q點的坐標是（8+t，t），
∴PE=8+t，
∴S=t，

②當＜t≤3時，如圖2，過點Q作QF⊥x軸于F，
∵BQ=2t-5，
∴OF=11-（2t-5）=16-2t，
∴Q點的坐標是（16-2t，4），
∴PF=16-2t-t=16-3t，
∴S=t，

③當點Q與點M相遇時，16-2t=t，解得t=．
當3＜t＜時，如圖3，MQ=16-2t-t=16-3t，MP=4．
S=•4•（16-3t）=-6t+32，
所以S=；

（3）①當0＜t≤時，S=，
∵a=＞0，拋物線開口向上，t=時，最大值為；
②當＜t≤3時，S=-2t²+．
∵a=-2＜0，拋物線開口向下．
∴當t=時，S有最大值，最大值為．
③當3＜t＜時，S=-6t+32，
∵k=-6＜0．
∴S隨t的增大而減�。�
又∵當t=3時，S=14．當t=時，S=0．
∴0＜S＜14．
綜上所述，當t=時，S有最大值，最大值為．

（4）當M點在線段CB上運動時，點Q一定在線段CB上，
①點Q在點M右側(cè)，QM=xQ-xM=16-2t-t=16-3t，NM=NP-MP=t-4
則有16-3t=t-4 解得t=；
②點Q在點M左側(cè)，QM=xM-xQ=3t-16，NM=NP-MP=t-4
則有3t-16=t-4 解得t=
但是，點Q的運動時間為（5+8）÷2=6.5秒，故將②舍去．
當t=時，△QMN為等腰三角形．
分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)和點A、B的坐標便可求出C點坐標，將C點坐標代入正比例函數(shù)即可求得直線l的解析式；
（2）根據(jù)題意，得OP=t，AQ=2t，根據(jù)t的取值范圍不同分三種情況分別進行討論，得到三種S關(guān)于t的函數(shù)，解題時注意t的取值范圍；
（3）分別根據(jù)三種函數(shù)解析式求出當t為何值時，S最大，然后比較三個最大值，可知當t=時，S有最大值，最大值為；
（4）根據(jù)題意并細心觀察圖象，分兩種情況討論可知：當t=時，△QMN為等腰三角形．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線最大值的求法和動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于難題．