Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），且OC=OB，tan∠ACO=$\frac{1}{4}$．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AD下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，作PM平行于y軸交直線AD于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)E，求△PHM的周長(zhǎng)的最大值；
（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)E為端點(diǎn)，在直線EP的右側(cè)作一條射線與拋物線交于點(diǎn)N，使得∠NEP為銳角，在線段EB上是否存在點(diǎn)G，使得以E，N，G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先由銳角三角函數(shù)的定義求得C的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸，從而得到點(diǎn)D（3，-4），然后可求得直線AD的解析式y(tǒng)=-x-1，故∠BAD=45°，接下來(lái)證明△PMD為等腰直角三角形，所當(dāng)PM有最大值時(shí)三角形的周長(zhǎng)最大，設(shè)P（a，a²-3a-4），M（-a-1），則PM=-a²+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根據(jù)△MPH的周長(zhǎng)=（1+$\sqrt{2}$）PM求解即可；
（3）當(dāng)∠EGN=90°時(shí)，如果$\frac{OA}{OC}=\frac{GN}{EG}$或$\frac{OA}{OC}=\frac{EG}{GN}$，則△AOC∽△EGN，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a²-3a-4），則EG=a-1，NG=-a²+3a+4，然后根據(jù)題意列方程求解即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴OA=1．
又∵tan∠ACO=$\frac{1}{4}$，
∴OC=4．
∴C（0，-4）．
∵OC=OB，
∴OB=4
∴B（4，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4）．
∵將x=0，y=-4代入得：-4a=-4，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-3x-4．
（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{-3}{2×1}$=$\frac{3}{2}$，C（0，-4），點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴D（3，-4）．
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．
∵將A（-1，0）、D（3，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=-1，
∴直線AD的解析式y(tǒng)=-x-1．
∵直線AD的一次項(xiàng)系數(shù)k=-1，
∴∠BAD=45°．
∵PM平行于y軸，
∴∠AEP=90°．
∴∠PMH=∠AME=45°．
∴△MPH的周長(zhǎng)=PM+MH+PH=PM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$MP+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PM=（1+$\sqrt{2}$）PM．
設(shè)P（a，a²-3a-4），M（-a-1），則PM=-a-1-（a²-3a-4）=-a²+2a+3，
∵PM=-a²+2a+3=-（a-1）²+4，
∴當(dāng)a=1時(shí)，PM有最大值，最大值為4．
∴△MPH的周長(zhǎng)的最大值=4×（1+$\sqrt{2}$）=4+4$\sqrt{2}$．
（3）如圖1所示；當(dāng)∠EGN=90°．

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a²-3a-4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{EG}{GN}$時(shí)，△AOC∽△EGN．
∴$\frac{a-1}{-{a}^{2}+3a+4}$=$\frac{1}{4}$，整理得：a²+a-8=0．
解得：a=$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$（負(fù)值已舍去）．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$，0）．
如圖2所示：當(dāng)∠EGN=90°．

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a²-3a-4）．
∵∠EGN=∠AOC=90°，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{GN}{EG}$時(shí)，△AOC∽△NGE．
∴$\frac{a-1}{-{a}^{2}+3a+4}$=4，整理得：4a²-11a-17=0．
解得：a=$\frac{11+\sqrt{393}}{8}$（負(fù)值已舍去）．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\frac{11+\sqrt{393}}{8}$，0）．
∵EN在EP的右面，
∴∠NEG＜90°．
如圖3所示：當(dāng)∠ENG′=90°時(shí)，

EG′=EG×$\frac{\sqrt{17}}{4}$×$\frac{\sqrt{17}}{4}$=（$\frac{11+\sqrt{393}}{8}$-1）×$\frac{17}{16}$=$\frac{51+17\sqrt{393}}{128}$．
∴點(diǎn)G′的橫坐標(biāo)=$\frac{179+17\sqrt{393}}{128}$．
∵$\frac{179+17\sqrt{393}}{128}$≈4.03＞4，
∴點(diǎn)G′不在EG上．
故此種情況不成立．
綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$，0）或（$\frac{11+\sqrt{393}}{8}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的交點(diǎn)式、配方法求二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM的長(zhǎng)與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．