Question

10．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F是矩形ABCD外兩點(diǎn)，AE⊥CF于點(diǎn)H，AD=3，CD=4，DE=2.5，∠EDF=90°，則DF長是$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)DF和AE相交于O點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)和已知條件可證明∠E=∠F，∠ADE=∠FDC，進(jìn)而可得到△ADE∽△CDF，由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出DF的長．

解答 解：設(shè)DF和AE相交于O點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA，
即∠FDC=∠EDA，
∵AE⊥CF于點(diǎn)H，
∴∠F+∠FOH=90°，
∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD，
∴∠F=∠E，
∴△ADE∽△CDF，
∴AD：CD=DE：DF，
∵AD=3，DC=4，DE=2.5，
∴DF=$\frac{10}{3}$，
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)，利用相似三角形的判定及性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．