Question

【題目】已知△ABC中，∠ABC＝90°，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點為點D，點C的對應(yīng)點為點E，直線DE與直線AC交于點F，連接FB．

（1）如圖1，當∠BAC＜45°時，

①求證：DF⊥AC；

②求∠DFB的度數(shù)；

（2）如圖2，當∠BAC＞45°時，

①請依題意補全圖2；

②用等式表示線段FC，FB，FE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②45°；（2）①見解析②FC－FE＝FB

【解析】

（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC≌△DBE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可證明；

②證法一：先證明A，D，B，F四點均在以AB為直徑的圓上，再連接AD，證明△ABD是等腰直角三角形即可；證法二：在DE上截取DG=AF，連接BG，根據(jù)SAS可證△ABF≌△DBG，再利用全等三角形的性質(zhì)證明△GBF是等腰直角三角形，問題即得解決；

（2）在CF上截取CG=EF，連接BG，利用SAS可證△BCG≌△BFE，再利用全等三角形的性質(zhì)證明△GBF是等腰直角三角形，進一步即可得出結(jié)論.

（1）①證明：如圖1，∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△DBE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，△ABC≌△DBE，

∴∠1＝∠2，AB=DB，∠ABC=∠DBE=90°，

∵∠1＋∠C＝90°，

∴∠2＋∠C＝90°，

∴∠DFC＝90°，即DF⊥AC；

②解法一：如圖3，連接AD，∵ DF⊥AC，∠DBE=90°，∴ ∠DFA= 90°，

∴A，D，B，F四點均在以AB為直徑的圓上，

∵AB=DB ，∠DBE=90°，∴ ∠DAB=45°，

∴∠DFB＝∠DAB＝45°；

解法二：如圖3，在DE上截取DG=AF，連接BG，

在△ABF和△DBG中，

∴△ABF≌△DBG，

∴BF＝BG，∠ABF＝∠DBG，

∵∠DBA＝90°，∴∠GBF＝90°，

∴△GBF是等腰直角三角形，

∴∠DFB＝45°；

（2）補全圖2，如圖4；FC－FE＝FB．

證明：如圖，在CF上截取CG=EF，連接BG，

在△BCG和△BFE中，

∴△BCG≌△BFE，∴BF＝BG，∠CBG＝∠EBF,

∵∠ABC＝90°，∴∠GBF＝90°，

∴△GBF是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ FC－FE＝FC－CG=.