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請閱讀下列材料:
問題:如圖(1),一圓柱的底面半徑、高均為5cm,BC是底面直徑,求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線.小明設計了兩條路線:
路線1:側面展開圖中的線段AC.如下圖(2)所示:
設路線1的長度為l1,則l12=AC2=AB2+2=52+(5π)2=25+25π2
路線2:高線AB+底面直徑BC.如上圖(1)所示:
設路線2的長度為l2,則l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225



l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0
∴l(xiāng)12>l22,∴l(xiāng)1>l2
所以要選擇路線2較短.
(1)小明對上述結論有些疑惑,于是他把條件改成:“圓柱的底面半徑為1cm,高AB為5cm”繼續(xù)按前面的路線進行計算.請你幫小明完成下面的計算:
路線1:l12=AC2=______;
路線2:l22=(AB+BC)2=______
∵l12______l22
∴l(xiāng)1______l2(填>或<)
∴選擇路線______(填1或2)較短.
(2)請你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當圓柱的底面半徑為r,高為h時,應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短.
【答案】分析:(1)根據勾股定理易得路線1?∈l12=AC2=高2+底面周長一半2;路線2:l22=(高+底面直徑)2;讓兩個平方比較,平方大的,底數就大.
(2)根據(1)得到的結論讓兩個代數式分三種情況進行比較即可.
解答:解:(1)路線1:l12=AC2=25+π2;路線2:l22=(AB+BC)2=49.
∵l12<l22,
∴l(xiāng)1<l2(填>或<),
∴選擇路線1(填1或2)較短.(5分)

(2)l12=AC2=AB2+2=h2+(πr)2,
l22=(AB+BC)2=(h+2r)2,
l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h];
r恒大于0,只需看后面的式子即可.(2分)
時,l12=l22
當r>時,l12>l22
當r<時,l12<l22
點評:比較兩個數的大小,有時比較兩個數的平方比較簡便,比較兩個數的平方,通常讓這兩個數的平方相減.注意運用類比的方法做類型題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料:
問題:解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0.
明明的做法是:將x2-1視為一個整體,然后設x2-1=y,則(x2-1)2=y2,原方程可化為y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.
(1)當y=1時,x2-1=1,解得x=±
2
;
(2)當y=4時,x2-1=4,解得x=±
5

綜合(1)(2),可得原方程的解為x1=
2
,  x2=-
2
,  x3=
5
,  x4=-
5

請你參考明明同學的思路,解方程x4-x2-6=0.

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科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料:
問題:已知方程x2+x-1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
解:設所求方程的根為y,則y=2x所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得(
y
2
2+
y
2
-1=0
化簡,得y2+2y-4=0
故所求方程為y2+2y-4=0.
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
請用閱讀村料提供的“換根法”求新方程(要求:把所求方程化為一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一個一元二次方程,使它的根分別為己知方程根的相反數,則所求方程為:
 
;
(2)己知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數根,求一個一元二次方程,使它的根分別是己知方程根的倒數.

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科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

(2013•貴陽模擬)請閱讀下列材料:
問題:如圖1,圓柱的底面半徑為1dm,BC是底面直徑,圓柱高AB為5dm,求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線,小明設計了兩條路線:
路線1:高線AB+底面直徑BC,如圖1所示.路線2:側面展開圖中的線段AC,如圖2所示.(結果保留π)

(1)設路線1的長度為L1,則L12=
49
49
.設路線2的長度為L2,則L22=
25+π2
25+π2
.所以選擇路線
2
2
(填1或2)較短.
(2)小明把條件改成:“圓柱的底面半徑為5dm,高AB為1dm”繼續(xù)按前面的路線進行計算.此時,路線1:L12=
121
121
.路線2:L22=
1+25π2
1+25π2
.所以選擇路線
1
1
(填1或2)較短.
(3)請你幫小明繼續(xù)研究:當圓柱的底面半徑為2dm,高為hdm時,應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的路線最短.

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科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料:問題:已知方程x2+x-3=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍
解:設所求方程的根為y,則y=2x,
所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得
(
y
2
)2+
y
2
-3=0

化簡,得y2+2y-12=0故所求方程為y2+2y-12=0.
這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
(1)已知方程x2+x-1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的3倍,則所求方程為
y2+3y-9=0
y2+3y-9=0

(2)已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數根,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數;
(3)已知關于x的方程x2-mx+n=0有兩個實數根,求一個方程,使它的根分別是已知方程根的平方.

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科目:初中數學 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料:
問題:正方形ABCD中,M,N分別是直線CB、DC上的動點,∠MAN=45°,當∠MAN交邊CB、DC于點M、N(如圖①)時,線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關系?
小聰同學的思路是:延長CB至E使BE=DN,并連接AE,構造全等三角形經過推理使問題得到解決.請你參考小聰同學的思路,探究并解決下列問題:
(1)直接寫出上面問題中,線段BM,DN和MN之間的數量關系;
(2)當∠MAN分別交邊CB,DC的延長線于點M/N時(如圖②),線段BM,DN和MN之間的又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想,并加以證明;
(3)在圖①中,若正方形的邊長為16cm,DN=4cm,請利用(1)中的結論,試求MN的長.

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