Question

如圖，OABC是平行四邊形，對(duì)角線OB在軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=

k1

x

和y=

k2

x

的一支上，分別過(guò)點(diǎn)A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：
①

AM

CN

=

|k1|

|k2|

；
②陰影部分面積是

1

2

（k₁+k₂）；
③當(dāng)∠AOC=90°時(shí)，|k₁|=|k₂|；
④若OABC是菱形，則兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱．
其中正確的結(jié)論是

 

（把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：作AE⊥y軸于點(diǎn)E，CF⊥y軸于點(diǎn)F，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得S_△AOB=S_△COB，利用三角形面積公式得到AE=CF，則有OM=ON，再利用反比例函數(shù)k的幾何意義和三角形面積公式得到S_△AOM=

1

2

|k₁|=

1

2

OM•AM，S_△CON=

1

2

|k₂|=

1

2

ON•CN，所以有

AM

CN

=

|k1|

|k2|

；由S_△AOM=

1

2

|k₁|，S_△CON=

1

2

|k₂|，得到S_陰影部分=S_△AOM+S_△CON=

1

2

（|k₁|+|k₂|）=

1

2

（k₁-k₂）；當(dāng)∠AOC=90°，得到四邊形OABC是矩形，由于不能確定OA與OC相等，則不能判斷△AOM≌△CNO，所以不能判斷AM=CN，則不能確定|k₁|=|k₂|；若OABC是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得OA=OC，可判斷Rt△AOM≌Rt△CNO，則AM=CN，所以|k₁|=|k₂|，即k₁=-k₂，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱．

解答：解：作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，如圖，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴S_△AOB=S_△COB，
∴AE=CF，
∴OM=ON，
∵S_△AOM=

1

2

|k₁|=

1

2

OM•AM，S_△CON=

1

2

|k₂|=

1

2

ON•CN，
∴

AM

CN

=

|k1|

|k2|

，故①正確；
∵S_△AOM=

1

2

|k₁|，S_△CON=

1

2

|k₂|，
∴S_陰影部分=S_△AOM+S_△CON=

1

2

（|k₁|+|k₂|），
而k₁＞0，k₂＜0，
∴S_陰影部分=

1

2

（k₁-k₂），故②錯(cuò)誤；
當(dāng)∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形，
∴不能確定OA與OC相等，
而OM=ON，
∴不能判斷△AOM≌△CNO，
∴不能判斷AM=CN，
∴不能確定|k₁|=|k₂|，故③錯(cuò)誤；
若OABC是菱形，則OA=OC，
而OM=ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO，
∴AM=CN，
∴|k₁|=|k₂|，
∴k₁=-k₂，
∴兩雙曲線既關(guān)于x軸對(duì)稱，也關(guān)于y軸對(duì)稱，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)．