Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，其中PA=，PC=2，PD=1，則∠CPD=________．

Answer 1

90°
分析：把△APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP′D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得P′C=PA，P′D=PD，從而判斷出△PP′D是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DPP′=45°，再利用勾股定理求出PP′的長度，利用勾股定理逆定理求出△PP′C是等腰直角三角形，從而得到∠P′PC=45°，然后根據(jù)∠CPD=∠DPP′+∠P′PC，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：如圖，把△APD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP′D，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′C=PA=，P′D=PD=1，
所以，△PP′D是等腰直角三角形，
∴∠DPP′=45°，
在Rt△PP′D中，PP′===，
在△PP′C中，PP′²+P′C²=²+²=2+2=4，
PC²=2²=4，
所以，PP′²+P′C²=PC²，
所以，△PP′C是直角三角形，
又∵PP′=P′C=，
∴△PP′C是等腰直角三角形，
∴∠P′PC=45°，
∴∠CPD=∠DPP′+∠P′PC=45°+45°=90°．
故答案為：90°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理、勾股定理逆定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．