Question

7．如圖，∠ABC=90°，MF⊥AC于F，交BC于D，交AB的延長線于M，連接CM，AF=DF．
（1）求證：∠FMC=∠FCM；
（2）過D作DE∥CM，交AC于E，求證：AD⊥DE．

Answer 1

分析 （1）證出∠AMF=∠DCF，由AAS證明△AMF≌△DCF，得出對應邊相等MF=CF，由等腰三角形的性質即可得出結論；
（2）由等腰三角形的性質和思考虛擬機定理求出∠FCM=45°，由平行線的性質得出∠FED=∠FCM=45°，求出∠FDE=∠FED，得出EF=DF=AF，由線段垂直平分線的性質得出AD=ED，得出∠DAE=∠FED=45°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE=90°，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵MF⊥AC，
∴∠AFM=∠DFC=90°，
∴∠AMF+∠BAC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DCF+∠BAC=90°，
∴∠AMF=∠DCF，
在△AMF和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFM=∠DFC}&{\;}\\{∠AMF=∠DCF}&{\;}\\{AF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△DCF（AAS），
∴MF=CF，
∴∠FMC=∠FCM；
（2）證明：∵∠DFC=90°，MF=CF，
∴∠FCM=45°，
∵DE∥CM，
∴∠FED=∠FCM=45°，
∴∠FDE=90°-45°=∠FED，
∴EF=DF=AF，
∴AD=ED，
∴∠DAE=∠FED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AD⊥DE．

點評 該題主要考查了直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、平行線的性質、線段垂直平分線的性質等知識；證明三角形全等是解決問題的突破口．